Решить интегралы на фото за 25 балов

$y'=3^{2x+y}$
Это дифференциальное уравнение относится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными

$\displaystyle \int 3^{-y}dy=\int9^xdx~~\Rightarrow~~~- \frac{3^{-y}}{\ln 3} = \frac{9^x}{\ln 9} +C$
Получили общий интеграл

2) xyy'-y^2=x^2
Это дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, однородное(выполняется условие однородности)

Пусть y=ux , тогда по правилу дифференцирования произведения двух функций: y'=u'x+u

$ux^2(u'x+u)-u^2x^2=x^2\\ \\ u'ux+u^2-u^2=1\\ \\ u'ux=1$
Последнее уравнение это уравнение с разделяющимися переменными

$\displaystyle \int u du=\int \frac{dx}{x} ~~~\Rightarrow~~~ u^2/2=\ln |x|+C$

Возвращаемся к обратной замене

$\dfrac{y^2}{2x^2}=\ln |x|+C$ — Общий интеграл.

3) $xy'-4y=x^2 \sqrt{y}$
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, неоднородное.

Применим метод Лагранжа

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения

$xy'-4y=0~~\Rightarrow~~~ \displaystyle \int \dfrac{dy}{y} =\int \frac{4dx}{x} ~~~\Rightarrow~~~ \ln |y|=\ln x^4+\ln C\\ \\ y=Cx^4$

Примем константу за функцию, т.е. C=C(x) , т.е. y=C(x)x^4 , тогда y'=C'(x)x^4+4x^3C(x)

Подставим в исходное уравнение

$C'(x)x^5+4x^4C(x)-4C(x)x^4=x^2 \sqrt{C(x)x^4} \\ \\ x^5C'(x)=x^4 \sqrt{C(x)} \\ \\ xC'(x)= \sqrt{C(x)} \\ \\ \displaystyle \int \frac{dC(x)}{ \sqrt{C(x)} } =\int \frac{dx}{x} ~~~\Rightarrow 2 \sqrt{C(x)} =\ln |x|+C_1\\ \\ C(x)= \frac{1}{4}\cdot \bigg(\ln |x|+C_1\bigg)^2$

Общее решение : $\displaystyle y=\frac{x^4}{4}\cdot \bigg(\ln |x|+C_1\bigg)^2$