Найдите все значения a, при которых уравнение имеет единственное решение.
$\sqrt{x^{4}+(a-5)^{4}} = |x + a - 5| + |x - a + 5|$

1)
Нули функций
<img src=«» id=«TexFormula2» title=«f(x)=|x+(a-5)|+|x-(a-5)|\\ 
x_{1}=a-5\\
x_{2}=5-a \\» alt=«f(x)=|x+(a-5)|+|x-(a-5)|\\ 
x_{1}=a-5\\
x_{2}=5-a \\» align=«absmiddle» class=«latex-formula»>
Значит функция
на отрезке
$(-\infty ; 5-a) \\ y=-2x \\&amp;#10;$
на отрезке
$y=[5-a,a-5] \ y=2|a-5|\&amp;#10;$
на отрезке
$(a-5,+\infty)\\&amp;#10;y=2x$

2)
Найдем при каких значениях не имеет решения уравнения
$\sqrt{x^4+(a-5)^4}=2x\\ &amp;#10;x^4-4x^2+(a-5)^4=0\\&amp;#10;D=16-4(a-5)^4\ \textless \ 0\\&amp;#10;a \in ( -\infty; \ 5 - \sqrt{2}) \ \cap \ (5+\sqrt{2}; +\infty) \\ &amp;#10;$
Для y=-2x аналогично.

3)
График функций   $y=\sqrt{x^4+(a-5)^4}$ — парабола, минимум которой, находиться в точке B(0,(a-5)^2) .

4)
Значит для того чтобы, уравнение имело одно решение, нужно чтобы Ломанная y=|x-(a-5)|+|x+(a-5)| а именно ее y=2|a-5| часть была равна   то есть
<img src=«» id=«TexFormula13» title=«2|a-5|=(a-5)^2 \\
a \geq 5\\
 2a-10=a^2-10a+25 \\
 a^2-12a+35=0 \\
 (a-5)(a-7)=0\\
a=5, \ a=7\\\\
 a\ \textless \ 5\\ 
 10-2a=a^2-10a+25 \\ 
 a^2-8a+15=0 \\
 (a-3)(a-5)=0\\
 a=3, \ a=5\\» alt=«2|a-5|=(a-5)^2 \\
a \geq 5\\
 2a-10=a^2-10a+25 \\
 a^2-12a+35=0 \\
 (a-5)(a-7)=0\\
a=5, \ a=7\\\\
 a\ \textless \ 5\\ 
 10-2a=a^2-10a+25 \\ 
 a^2-8a+15=0 \\
 (a-3)(a-5)=0\\
 a=3, \ a=5\\» align=«absmiddle» class=«latex-formula»>

Но a=5 не подходит так как он не входит в отрезок описанный в пункте 2.

5) Ответ   a=3,a=7