Найдите значения параметра r такие, что для всех значений переменной x квадратный трёхчлен x?+4rx+4 принимает неотрицательные значения.

квадратный трёхчлен x?+4rx+4 принимает неотрицательные значения. $x^2 + 4rx + 4 \geq 0$

Т.к. парабола направлена ветвями вверх, то трехчлен будет иметь ВСЕ неотрицательные значения только в том случае, когда дискриминант отрицательный или равен нулю. Иначе у параболы будут точки пересечения с осью ОХ и ее часть будет лежать ниже оси ОХ.

$D = (4r)^2 - 4 * 4 \leq 0 \\ 16r^2 - 16 \leq 0 \\ 16r^2 \leq 16 \\ r^2 \leq 1 \\ |r| \leq 1$

r? [-1; 1]

Оцени ответ

Квадрат трёхчлен принимает неотрицательные значения, если
$x^2+4rx+4 \geq 0$

Пойдем немного другим путем,то есть, путем выделения полного квадрата.
$x^2+4rx+4=x^2+4rx+4r^2+4-4r^2=(x^2+2r)^2+4-4r^2\\ \\ (x^2+2r)^2+4-4r^2\geq 0$

И последнее неравенство будет выполняться для всех х, если левая часть неравенства - неотрицательно, т.е.
$4-4r^2 \geq 0\\ \\ ~~~~r^2 \leq 1\\ \\ ~~~~|r| \leq 1\\ \\ -1 \leq r \leq 1$