$\sqrt{4-\sqrt{7}}$

$\sqrt{4-\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{8-2\sqrt{7}}{2}}=\sqrt{\frac{1+7-2\sqrt{1\cdot 7}}{2}}=&amp;#10;\sqrt{\frac{(\sqrt{1})^2-2\sqrt{1}\sqrt{7}+(\sqrt{7})^2}{2}}=$

$\sqrt{\frac{(\sqrt{1}-\sqrt{7})^2}{2}}=\frac{|1-\sqrt{7}|}{\sqrt{2}}=&amp;#10;\frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{2}}$

Замечание. Смысл метода упрощения выражения вида $\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}$ — в попытке представить подкоренное выражение в виде полного квадрата. Для этого нужно подобрать такие x и y, чтобы x+y=a; xy=b. В «хороших задачах» это удается сделать «вручную», иначе x и y можно найти в виде решений квадратного уравнения t^2-at+b=0 (это следует из теоремы Виета). Конечно, задача в действительных числах решается не всегда, так как дискриминант этого уравнения может быть отрицательным. Кроме того, если дискриминант не является полным квадратом, результат преобразований будет неутешительным